Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel lengkap

 

Belajar Tanpa Batas- Apakah kalian sudah tahu mengenai pertidaksamaan linear? Jika belum, mari kita belajar bersama mengenai  sistem pertidaksamaan linear.

Kalian tentu sering mendengar mengenai persamaan. Nah pada artikel kali ini kalian dapat mempelajari materi mengenai pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linier dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat dua variabel (peubah) dengan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah satu.

Sementara itu sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linier yang memuat dua variabel.

Contoh pertidaksamaan linier adalah $5x<2$, $2x+3y+5z>10$, $6x+2y≥5$, dan seterusnya.

 

DEFINISI: Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu atau lebih variabel dan sebuah tanda ketidaksamaan. Bila pertidaksamaan tersebut berbentuk linier (tidak mengandung fungsi polinomial, trigonometri, logaritma, atau eksponensial), maka pertidaksamaan tersebut dinamakan pertidaksamaan linier

Berdasarkan definisi diatas maka pertidaksamaan linier dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

$ax+by>c$, $ax+by<c$, $ax+by≥c$, $ax+by≤c$

dengan $x, y$ variabel dan $a, b, c $ konstanta.

Pertidaksamaan linier dua variabel tersebut misalnya sebagai berikut.

  1. $x≥2$
  2. $y<-5$
  3. $x+2y≤7$
  4. $3x-y>10$
  5. $-x+5y≥-80$
  6. $-2,5x-7y≤-\frac{50}{3}$

Gabungan dari dua atau lebih dari pertidaksamaan linier tersebut disebut sistem pertidaksamaan linier

Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier merupakan irisan dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan liniernya. Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

  1. Gambarlah garis $ax+by=c$
  2. Ambil sembarang titik $P(x_{1},y_{1})$ yang terletak diluar garis $ax+by=c$.
  3. Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.
  4. Apabila pertidaksamaan benar, maka daerah yang memuat titik $P(x_{1},y_{1})$ adalah himpunan penyelesaiannya. Jika pertidaksamaan salah, maka daerah lain yang tidak memuat titik $P(x_{1},y_{1})$ adalah himpunan penyelesaiannya.

Menentukan Daerah Penyelesaian Tanpa Uji Titik

Daerah himpunan penyelesaian dapat diidentifikasi langsung dari bentuk kemiringan/gradien garisnya. Selain menggunakan kemiringan perlu diperhatikan pula koefisien pada variabel $x$ dan $y$.

Perhatikan penjelasan berikut.

  1. Jika gradien/kemiringan garis negatif (-) seperti terlihat pada gambar dibawah, maka :

  •  Garis tersebut memiliki persamaan $ax+by=c$, dengan $a , b $ keduanya sama-sama positif atau sama-sama negatif
  •  Jika $ax+by≥c$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “A” (warna pink)
  • Jika $ax+by≤c$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “B” (warna biru)

 

 

 

 

2. Jika gradien/kemiringan garis positif (+) seperti terlihat pada gambar dibawah, maka:

 

  • Garis tersebut memiliki persamaan $ax+by=c$, dengan $a , b $ keduanya saling berlawanan tanda (salah satu positif atau negatif)
  •  Jika $ax+by≤c$ , $a<0$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “B” (warna biru )
  •  Jika $ax+by≤c$ , $a>0$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “A” (warna pink )
  •  Jika $ax+by≥c$ , $a<0$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “A” (warna pink )
  •  Jika $ax+by≥c$ , $a>0$ maka daerah himpunan penyelesaian adalah “B” (warna biru )

 

 

Agar lebih paham dan jelas mari kita lihat contoh-contoh dibawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x+3y\geq 12$ untuk $x, y ∈ R$.

Pembahasan :

himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x+3y\geq 12$ untuk $x, y ∈ R$ dapat mengikuti langkah-langkah berikut.

  1. Gambar garis $x+3y= 12$.

Titik potong dengan sumbu-X, untuk $y=0$

$x+3y=12$ maka $x+3.0=12$

$x= 12$

Titik potong dengan sumbu-X adalah $(12,0)$

Titik potong dengan sumbu-Y, untuk $x=0$

$x+3y=12$ maka $0+3y=12$

$y=4$

Titik potong dengan sumbu-Y dalah $(0,4)$.

2. Pilih salah satu titik yang tidak dilalui oleh garis $x+3y=12$. misalnya $(0,0)$

3. Substitusikan titik $(0,0)$ kedalam pertidaksamaan $x+3y\geq 12$.

$(0,0)$ maka $x+3y\geq 12$

$0 + 3.0\geq 12$

$0≥12 $ (pernyataan salah)

4. Karena pernyataan salah, maka daerah lain yang tidak memuat titik $(0,0)$ yang dibatasi garis $x+3y=12$ adalah himpunan penyelesaianya.

Pada gambar berikut, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x+3y\geq 12$ adalah daerah yang diarsir.

 

Contoh Soal 2

Tunjukkan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier $x≥0, y≥0, x+y≤6$ dan $ 3x+8y≤ 24$ untuk $x, y ∈ R$.

Pembahasan:

Grafik himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan diatas dapat digambarkan dengan langkah-langkah berikut.

  1. Arsirlah daerah yang memenuhi $x≥ 0$.
  2. Arsirlah daerah yang memenuhi $ y≥0 $.
  3. Gambar garis $ x+y=6$ kemudian arsirlah daerah yang memenuhi $ x+y≤6$.
  4. Gambar garis $ 3x+8y= 24$ kemudian arsirlah daerah yang memenuhi $ 3x+8y≤ 24$.
  5. Himpunan penyelesaian adalah daerah yang merupakan irisan keempat penyelesaian pertidaksamaan di atas seperti pada gambar berikut.

 

Contoh Soal 3

Tentukan sistem pertidaksamaan yang daerah arsiran himpunan penyelesaiannya seperti pada gambar berikut.

 

Pembahasan:

  1. Persamaan garis diatas melalui titik $(0,3)$ dan $(3,0)$ maka;

$3x+3y=3.3$ sehingga $3x+3y=9$

sehingga persamaan garisnya $x+3y=3$, karena arsiran pada gambar terletak di bawah garis tersebut maka persamaan menjadi $x+3y≤3$.

2. Persamaan garis melalui titik $(0,2)$ dan $(4,0)$ maka;

$2x+4y=2.4$ sehingga $2x+4y=8$

sehingga persamaan garisnya $x+2y=4$, karena arsiran gambar terletak diatas garis tersebut maka persamaan menjadi $x+2y≥4$.

3. $x≥0 $ karena arsiran terletak di sumbu X positif dan $y≥0$ karena arsiran terletak di sumbu Y positif.

Jadi, himpunan penyelesaian pada gambar diatas adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $x≥0$, $y≥0$, $x+y≤3$ dan $2x+y≥4$ untuk $x, y ∈ R$.

 

Contoh Soal 4

Tentukan sistem pertidaksamaan yang daerah arsiran himpunan penyelesaiannya seperti pada gambar berikut.

 

Pembahasan:

  1. Persamaan garis diatas melalui titik $(6,0)$ dan $(0,-6)$ maka;

$-6x+6y=-6 . 6$ sehingga $-6x+6y=-36$ atau $ -x+y=-6$

sehingga persamaan garisnya $-x+y=-6$, karena arsiran gambar terletak dibawah garis tersebut maka persamaan menjadi $-x+y≤-6$

2. Persamaan garis diatas melalui titik $(10,0)$ dan $(0,-15)$ maka;

$-15x+10y=-15 . 10$ sehingga $-15x+10y=-150$ atau $-3x+2y=-30$

sehingga persamaan garisnya $-3x+2y=-30$, karena arsiran gambar terletak diatas garis tersebut maka persamaan menjadi $-3x+2y≥-30$

3. Persamaan garis di atas melalui titik $(0,0)$ maka;

$x=-y$ atau $x+y=0$, karena arsiran gambar terletak dibawah/sebelah kiri garis tersebut maka persamaan menjadi $x+y≤0$

4. Pada gambar arsiran terlihat bahwa gambar terletak di kanan sumbu Y , maka gambar terletak di sumbu X positif, sehingga persamaannya $x≥0$.

Jadi, himpunan penyelesaian pada gambar diatas adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $x≥0$, $x+y≤0$, $-3x+2y≥-30$ dan $-x+y≤-6$ untuk $x, y ∈ R$.

 

Contoh Soal 5

Diketahui sistem pertidaksamaan linier  $x≥0$, $y≥0$, $x+y≤5$ dan $2x+y≤8$ untuk $x, y ∈ R$.

  1. Tunjukkan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier tersebut.
  2. Tentukan koordinat titik-titik $(x,y)$ pada daerah penyelesaian untuk $x$ dan $y ∈ C$ dan tandailah titik-titik itu dengan noktah (•) pada diagram kartesius.
  3. Dari koordinat titik-titik yang diperoleh dari pertanyaan (2) tentukan nilai dari bentuk $(3x+2y)$ kemudian tentukan nilai maksimum dan minimum dari bentuk $(3x+2y)$ dan untuk titik-titik mana nilai itu tercapai?

Pembahasan:

  1. Grafik himpunan penyelesaian dapat digambarkan dengan langah-langkah berikut:
    • Arsirlah daerah yang memenuhi $x≥0$.
    • Arsirlah daerah yang memenui $y≥0$.
    • Gambar garis $x+y=5$, kemudian arsirlah daerah yang memenuhi $x+y≤5$ yaitu daerah disebelah bawah/kiri garis tersebut.
    • Gambar garis $2x+y=8$ , kemudian arsirlah daerah yang memenuhi $2x+y≤8$ yaitu daerah disebelah bawah/kiri garis tersebut.
    • Himpunan penyelesaian merupakan irisan dari keempat arsiran diatas seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

2. Dari gambar diatas titik-titik $(x,y)$ pada daerah himpunan penyelesaian untuk  $x$ dan $y ∈ C$ adalah titik-titik dengan koordinat $ (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (0,1), (1,1) $, $(2,1), (3,1), (0,2), (1,2), (2,2),(3,2)$,$(0,3), (1,3),  (2,3), (0,4),  (1,4), (0,5) $.

3. Nilai dari bentuk $(3x+2y)$ adalah nilai 0 untuk x=0, y=0, dan nilai 3 untuk x=1 dan y=0, nilai 6 untuk x=2 dan y=0 dan seterusnya.

Nilai dari bentuk $(3x+2y)$ disajikan dalam tabel dibawah ini.

Titik (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (0,1) (1,1)
3x+2y 0 3 6 9 12 2 5
Titik (2,1) (3,1) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (0,3)
3x+2y 8 11 4 7 10 13 6
Titik (1,3) (2,3) (0,4) (1,4) (0,5)
3x+2y 9 12 8 11 0

Nilai minimum dari bentuk $(3x+2y)$ adalah 0, untuk x=0 dan y=0.

Nilai maksimum dari bentuk $(3x+2y)$ adalah 13, untuk x=3 dan y=2.

 

Contoh Soal 6

Seorang pedagang kaki lima memiliki modal Rp 20.000.000,- untuk ditanamkan pada dua jenis usaha. Dari bidang usaha pertama, ia mendapat keuntungan 5% setiap bulan sedangkan dari bidang usaha kedua sebesar 15% setiap bulan. Jika pedagang tersebut mengharapkan keuntungan paling sedikit Rp 2.000.000,- setiap bulan, tentukan besarnya modal yang harus ditanamkan pada setiap jenis usahanya.

Pembahasan:

Misalkan :

Modal pertama =$ x$ juta rupiah

Modal kedua =$ (20-x)$ juta rupiah

Dengan komposisi tersebut maka keuntungan tiap bulan adalah $ 0,05x+0,15(20-x)$ juta rupiah. Untuk kondisi $x$ kita tentukan bahwa  $ 0,05x+0,15(20-x)≥2 $ (dalam juta rupiah).

$5x+15(20-x) ≥ 200$

$5x+300-15x≥200$

$-10x≥-100$

$x≤10$

dari $x≤10$ diperoleh modal kedua $(20-x)=20-10=10$ juta rupiah.

jadi modal yang ditanam pada usaha pertama adalah Rp 10.000.000,- dan untuk modal kedua adalah Rp 10.000.000,-.

Berdasarkan pembelajaran materi pertidaksamaan diatas, mari kita ambil beberapa kesimpulan:

  1. Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari “ > “, kurang dari “ < “, lebih dari atau sama dengan “ ≥ “, dan kurang dari atau sama dengan “ ≤ “. Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu.
  2. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat dua peubah (variabel) dengan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah satu.
  3.  

    Pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel, terdapat lebih dari satu pertidaksamaan linear dua variabel agar dapat dibuat model matematika dan ditentukan solusinya.

  4. Untuk menyelesaikan permasalahan sistem pertidaksamaan linier maka ditentukan terlebih dahulu model matematika, gambar garis-garisnya kemudian mencari daerah himpunan penyelesaian menggunakan titik uji atau rumus diatas.

Demikian materi singkat tentang sistem pertidaksamaan linier, semoga bermanfaat dan jangan lupa share. Terima kasih.

 

Follow This :