Penjelasan Nilai Mutlak, Sifat-sifat dan Contoh Soal

webmatika.com – Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas materi tentang rumus persamaan nilai mutlak, kita akan jabarkan secara detail dan lengkap dari pengertian nilai mutlak, pengertian persamaan nilai mutlak, penjelasan tentang nilai mutlak, sifat – sifat persamaan nilai mutlak, dan contoh soal dari persamaan nilai mutlak.

Konsep Nilai Mutlak

Untuk memahami konsep nilai mutlak, mari perhatikan kasus dibawah ini.

Kasus pertama

Pada sebuah kegiatan pramuka disekolah, pasukan pramuka sedang belajar baris-berbaris dilapangan pada hari sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu pramuka, yaitu “Maju 4 langkah, jalan !”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan regu pramuka adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.

Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. Contoh, “maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah”, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya.

Kasus kedua

Seorang anak bermain lompat-lompatan dilapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang.

Sumber foto: dokumen pribadi

Nilai Mutlak atau nilai absolut yaitu nilai suatu bilangan riil yang bernilai positif. Sebagai contoh, nilai mutlak dari 4 adalah 4, dan nilai absolut dari –7 juga 7.

Nilai mutlak merupakan bilangan dengan nilai yang sama dari panjang atau jarak dari titik asal atau titik nol dalam koordinat. Hal ini dapat diartikan dengan nilai mutlak dari 5 adalah panjang atau jarak dari titik 0 hingga ke titik 5 maupun (-5).

 

Definisi Matematika Nilai mutlak

Jika x anggota dari bilangan riil, maka nilai mutlak ditulis dengan |x| dan didefinisikan sebagai berikut.

\[\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x,\: untuk\: x\geq 0\\ -x, \: untuk \: x<0 \end{matrix}\right.\]

Persamaan Nilai Mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik O(0,0) pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left | x-5 \right |=3$.

Pembahasan:

Dengan menggunakan definisi matematis diatas, didapatkan.

$x-5=3$   atau $ -(x-5)=3$

$x=3+5$  atau $-x+5=3$

$x=8$      atau $-x=3-5$

atau $-x=-2$

atau $x=2$

Jadi, nilai $x=8$ atau $x=2$ memenuhi persamaan nilai mutlak $\left | x-5 \right |=3$.

Contoh Soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left 3| 2x+6 \right |-7=-4$.

Pembahasan:

$\left 3| 2x+6 \right |=-4+7$

$\left 3| 2x+6 \right |=3$

$\left | 2x+6 \right |=1$

Dengan menggunakan definisi matematis diatas, didapatkan.

$(2x+6)=1$     atau     $-(2x+6)=1$

$2x=1-6$     atau    $-2x-6=1$

$2x=-5$     atau   $-2x=1+6$

$x=-\frac{5}{2}$     atau   $-2x=7$

atau  $x=-\frac{7}{2}$

Jadi, nilai $x=-\frac{5}{2}$ atau $x=-\frac{7}{2}$ memenuhi persamaan nilai mutlak $\left 3| 2x+6 \right |-7=-4$.

Contoh Soal 3

Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap d musim hujan dan cepat kering di musim kemarau. Diketahui debit air sungai tersebut adalah $p$ liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar $q$ liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut.

Pembahasan:

Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan $q$ liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan $\left | x-p \right |=q$, dengan $x$ adalah debit air sungai.

Dengan definisi diatas, maka :

$\left | x-p \right |=\left\{\begin{matrix} x-p, \: jika\: x\geq p\\ -x+p, \: jika\: x<p \end{matrix}\right.$

Akibatnya, $\left | x-p \right |=q$ berubah menjadi

  1. Untuk $x≥p, x-p=q$ atau $x=p+q$

Hal ini berarti peningkatan maksimum debit air sungai adalah $(p+q)$

2. Untuk $x<p, -x+P=q$ atau $x=p-q$

Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah $(p-q)$

dengan pemahaman yang telah dimiliki dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah $(p-q)$ liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah $(p+q)$ liter/detik.

Contoh Soal 4

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left | x-3 \right |+\left | 2x-8 \right |=5$.

Pembahasan:

Berdasarkan definisi diatas, diperoleh

$\left | x-3 \right |=\left\{\begin{matrix} x-3, \: jika \: x\geq 3\\ -x+3,\: jika \: x<3 \end{matrix}\right.$

$\left | 2x-8 \right |=\left\{\begin{matrix} 2x-8, \: jika \: x\geq 4\\ -2x+8,\: jika \: x<4 \end{matrix}\right.$

  • Untuk $x<3$, maka bentuk $\left | x-3 \right |+\left | 2x-8 \right |=5$ menjadi $-x=3-2x=8=5$ atau $x=2$

Karena $x<3$, maka nilai $x=2$ memenuhi persamaan.

  • Untuk $3≤x<4$, maka $\left | x-3 \right |+\left | 2x-8 \right |=5$ menjadi $x-3-2x+8=5$ atau $x=0$,

Karena $3≤x<4$  maka tidak ada nilai $x$ yang memenuhi persamaan.

  • Untuk $x≥4$ maka $\left | x-3 \right |+\left | 2x-8 \right |=5$ menjadi $x-3=2x-8=5$ atau $x=\frac{16}{3}$.

Karena $x≥4$, maka $x=\frac{16}{3}$ memenuhi persamaan.

Jadi penyelesaian $\left | x-3 \right |+\left | 2x-8 \right |=5$ adalah $x=2$ atau $x=\frac{16}{3}$.

 

Add a Comment

Follow This :