Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Definisi Integral

Secara matematis, istilah integral trigonometri adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau differensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers dari diferensial atau pendiferensialan. 

Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, panjang busur lengkungan suatu fungsi, dan beberapa aplikasi lainya. Lambang $\int$ menyatakan operasi integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

 

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus dasar pengintegralan tak tentu fungsi trigonometri disajikan dalam teorema berikut.

Model 1

  1. $\int cos x dx= sin x +C$
  2. $\int sin x dx= -cos x +C$
  3. $\int sec^{2} x dx= tan x +C$
  4. $\int cosec^{2} x dx= -cot x +C$
  5. $\int tan x sec x dx= sec x +C$
  6. $\int cot x cosec x dx= -cosec x +C$

Model 2

  1. $\int cos ax dx =\frac{1}{a} sin ax +C$
  2. $\int sin ax dx =-\frac{1}{a} cos ax +C$
  3. $\int sec^{2} ax dx =\frac{1}{a} tan ax +C$
  4. $\int cosec^{2} ax dx =-\frac{1}{a} cot ax +C$
  5. $\int tan ax sec ax dx =\frac{1}{a} sec ax +C$
  6. $\int cot ax cosec ax dx =-\frac{1}{a} cosec ax +C$

Model 3

  1. $\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+C$
  2. $\int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos(ax+b)+C$
  3. $\int tan(ax+b)dx=\frac{1}{a}sec^{2}(ax+b)+C$
  4. $\int sec^{2}(ax+b)dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+C$
  5. $\int cosec^{2}(ax+b)dx=-\frac{1}{a}cot(ax+b)+C$
  6. $\int tan(ax+b) sec (ax+b)dx=\frac{1}{a}sec(ax+b)+C$
  7. $\int cot(ax+b) cosec(ax+b)dx=-\frac{1}{a}cosec(ax+b)+C$

 

Contoh-contoh soal integral tak tentu fungsi trigonometri

SOAL 1

Hasil dari $\int (sin x+3 cos x )dx=…..$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int (sin x+3 cos x )dx=$

$=\int sin x dx +3\int cos x dx$

$= – cos x + 3 sin x +C $

 

 

SOAL 2

Hasil dari $\int (4x^{3}-cot x cosec x-2)dx=….$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int (4x^{3}-cot x cosec x-2)dx=$

$=4\int x^{3}dx -\int cotx cosec x dx-2\int dx$

$=x^{4}+cosecx – 2x+C$

 

SOAL 3

Hasil dari $\int (1-cot x)(1+cot x)dx=……$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int (1-cot x)(1+cot x)dx=$

$=\int (1-cot^{2}x)dx$

$=\int (1-(cosec^{2}x-1))dx$

$=\int (2-cosec^{2}x)dx$

$=2\int dx- \int cosec^{2}x dx$

$=2x+cot x +C$

 

SOAL 4

Hasil dari $\int (\frac{sinx}{cosx}+\frac{1}{cos x})^{2}dx=……$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int (\frac{sinx}{cosx}+\frac{1}{cos x})^{2}dx=$

$=\int (tanx+secx)^{2} dx$

$=\int (tan^{2}x+2tanxsecx+sec^{2}x)dx$

$=\int (2sec^{2}x+2tanxsecx-1)dx$

$=2\int sec^{2}xdx+2\int tanx sec x dx-\int dx $

$=2 tan x+2 sec x- x+C$

 

SOAL 5

Hasil dari $\int cos^{4}x dx=……$

 

Alternatif Penyelesaian:

 

$\int cos^{4}x dx=$

$=\int (cos({2}x)^{2}dx$

$=\int {\frac{1}{2}(1+cos2x)}^{2}dx

 

Follow This :