Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Definisi Integral

Secara matematis, istilah integral adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau differensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers dari diferensial atau pendiferensialan. 

Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, panjang busur lengkungan suatu fungsi, dan beberapa aplikasi lainya. Lambang $\int$ menyatakan operasi integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang diberikan. Integral tak tentu dinyatakan sebagai $\int f(x)dx$ dibaca” integral dari $f(x)$ terhadap $x$ adalah fungsi umum yang ditentukan dengan rumus:

\[\int f(x)dx=F(x)+C\]

dengan $F(x)$ dinamakan fungsi integral umum ,

$f(x)$ dinamakan fungsi integran

C adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sembarang)

TEOREMA Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan $C$ adalah konstanta real, maka

  1. $\int dx=x+C$
  2. $\int k dx= kx +C$
  3. $\int {f(x) ± g(x)} = \int f(x) dx ± \int g(x) dx$
  4. $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
  5. Jika $n≠-1$, maka:

$\int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} +C$

$\int k x^{n} dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} +C$

6. Dalam kasus $n=-1$, maka:

$\int \frac{1}{x}=in x +C$

$\int \frac{k}{x}=k in x +C$

Contoh-contoh Soal Integral Tak Tentu

Soal 1

Hasil dari $\int 6x^{5} dx =….$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int 6x^{5} dx = \frac{6}{5+1}x^{5+1} +C = x^{6} + C$

Soal 2

Hasil dari $\int (6x^{2}-\frac{1}{x^{2}}+3) dx = ….$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int (6x^{2}-\frac{1}{x^{2}}+3) dx $

$= \int 6x^{2}dx – \int \frac{1}{x^{2}}dx +\int 3 dx $

$= \frac{6}{2+1}x^{2+1} – \frac{1}{-2+1}x^{-2+1} +3x +C $

$= 2x^{3} +\frac{1}{x}+3x+C $

Soal 3

Hasil dari $\int x(x-4)^{2} dx =….$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int x(x-4)^{2} dx $

$=\int x(x^{2}-8x+16)dx$

$=\int (x^{3}-8x^{2}+16x)dx$

$=\int x^{3} dx-\int 8x^{2}dx +\int 16x dx$

$=\frac{1}{3+1}x^{3+1}-\frac{8}{2+1}x^{2+1}+\frac{16}{1+1}x^{1+1}+C$

$=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{8}{3}x^{3}+8x^{2}+C$

 

Soal 4

Hasil dari $\int \frac {(x+1)(x-3)}{\sqrt{x}}dx=….$

 

Alternatif Penyelesaian:

$\int \frac {(x+1)(x-3)}{\sqrt{x}}dx$

$=\int \frac{x^{2}-2x-3}{x^{\frac{1}{2}}}$

$=\int(x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}})$

$=\int x^{\frac{3}{2}}dx -\int 2x^{\frac{1}{2}}dx -\int 3x^{-\frac{1}{2}}dx$

$=\frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}-\frac{3}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1} +C$

$=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}-6\sqrt{x}+C$

Demikian pembahasan integral tak tentu fungsi aljabar.

Semoga berguna dan bisa menjadi sumber belajar.

Follow This :