Aplikasi Turunan : Maksimum dan Minimum

Maksimum dan Minimum

Seringkali kita harus mencari cara terbaik dalam menyelesaikan suatu pekerjaan. Misalnya seorang petani ingin mendapatkan kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter berharap dapat memberikan dosis terkecil suatu obat untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik ingin menekan sekecil mungkin biaya proses produksinya. Kadangkala persoalan semacam itu dapat dirumuskan sedemikian rupa sehingga melibatkan pemaksimuman dan peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang telah ditentukan. Jika demikian maka metode-metode dalam ilmu matematika (kalkulus) ,menyediakan sarana yang tepat dan ampuh dalam memecahkan permasalahann tersebut.

 

Misalkan kita diberikan suatu fungsi $ f(x)$ dan daerah asal S. Maka kita memiliki 3 pertanyaan:

 

  1. Apakah $f(x)$ memiliki suatu nilai maksimum atau minimum pada S?
  2. Jika $f(x)$ memiliki suatu nilai maksimum atau minimum, dimanakah nilai-nilai tersebut dicapai?
  3. Jika nilai-nilai tersebut ada, berapakah nilai-nilai maksimum tersebut?

Menjawab semua itu, marilah kita mulai dengan definisi-definisi pokok sebagai berikut.

Definisi:

Misalkan S, daerah hasil $f$, mengandung titik $c$. Kita dapat mengatakan bahwa:

  1. $f(c)$ adalah nilai maksimum $f$ pada S jika $f(c)\ge f(x)$ untuk semua $x$ di S;
  2. $f(c)$ adalah nilai minimum $f$ pada S jika $f(c)\le f(x)$ untuk semua $x$ di S;
  3. $f(c)$ adalah nilai ekstrim $f$ pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;
  4. fungsi yang akan kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

Pertanyaan Keberadaan :

Apakah $f$ mempunyai nilai maksimum atau minimum pada S? Jawabannya tergantung pada himpunan S tersebut. Tinjaulah $f(x)=\frac{2}{x}$ pada S=(0,∞); fungsi ini tidak memiliki nilai maksimum atau minimum. Namun fungsi yang sama pada S=[1,3] mempunyai nilai maksimum $f(1)=2$ dan nilai minimum $f(3)=\frac{2}{3}$. Pada S (1,3] $f$ tidak mempunyai nilai maksimum tetapi mempunyai nilai minimum $f(3)=\frac{2}{3}$.

 

Jawaban juga tergantung pada jenis fungsi. Tinjaulah pada fungsi diskontinu $g$ yang didefinisikan oleh

\[g(x)=\left\{\begin{matrix} x \: ;jika \, 1\leq x\leq 2\\ x-2\: ;jika \, \: 2\leq x \leq 3 \end{matrix}\right.\]

Pada S = [1,3], $g$ tidak mempunyai nilai maksimum (cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Namun $g$ mempunyai nilai minimum $g(2)=0$.

Terdapat teorema bagus dalam hal keberadaaan fungsi sebagai berikut.

TEOREMA A: Keberadaan Maks-Min 

Jika $f$ kontinu pada interval tertutup [a,b], maka $f$ mencapai nilai maksimum dan nilai minimum disana.

 

Follow This :